Бесконечность факториалов растёт быстрее любой показательной функции, даже быстрее чисел Акермана.

Факториал n! растёт настолько стремительно, что превосходит скорость роста любой показательной функции вроде 2^n или даже 10^n. Это свойство известно математикам как минимум с XVIII века — анализ асимптотического поведения факториала связан с работами Джеймса Стирлинга, который в 1730 году вывел знаменитую формулу Стирлинга, позволяющую оценить величину n! при больших n. Формула показывает, что n! растёт примерно как (n/e)^n × √(2πn), что наглядно демонстрирует экспоненциальный характер этого роста. Даже числа Акермана, которые занимают особое место в иерархии быстро растущих функций и используются в теории вычислимости, при достаточно большых n остаются позади факториала. 100! уже содержит 158 цифр, а 1000! — более 2500 цифр, что делает прямое вычисление практически невозможным без специализированных алгоритмов. Эта иерархия роста функций критична для информатики и анализа алгоритмов. Задачи, требующие перебора всех перестановок n элементов (поиск оптимального маршрута коммивояжёра, расписание работ), имеют временную сложность O(n!), что означает: для n=15 компьютер справится за миллисекунды, но для n=20 потребуются часы, а для n=30 — больше времени, чем существует Вселенная. Это фундаментальное препятствие для точного решения многих практических задач оптимизации и объясняет, почему учёные разрабатывают приблизительные алгоритмы и эвристики вместо полного перебора.